TEMA Euromilhões

Ganhar o Euromilhões!!! 

Eis algo que nunca deixa ninguém indiferente! Contudo, qual é a probabilidade de conseguir tal evento? (post 3/4)

Respondida a questão de quantas combinações/chaves possíveis estão em jogo no euromilhões, importa agora analisar o comportamento da distribuição dos 50 números e das 11 estrelas pelas suas posições possíveis na chave ordenada.

Tomemos, como exemplo a recente chave extraída na última 6ª feira, dia 17/10/2014:

Números					+	Estrelas
P1	P2	P3	P4	P5	+	E1	E2
1	13	40	48	49	+	8	10

Considerando o conjunto, finito, designado por U, já gerado em computador (conteúdo a disponibilizar brevemente), constituído pelas 116 531 800 chaves ordenadas possíveis que podem sair em qualquer sorteio do euromilhões, qual o número mais provável para a posição P1? E Para a posição P5? E para a posição P3? Igualmente, o que acontecerá com as Estrelas E1 e E2?

Para facilitar a tarefa e para simplificar a compreensão do que está em causa, esqueçamos as estrelas. Considere-se apenas o domínio parcelar dos números, constituído por 2 118 760 combinações possíveis, como ilustrado no post 2. O quadro seguinte sintetiza a frequência possível da ocorrência de cada um dos 50 números em cada uma das posições (P1 a P5):

Analisando o quadro, importa, desde logo, sublinhar os seguintes aspectos:

·   Os números, de 1 a 50 são equiprováveis, ou seja, não há nenhum que registe maior probabilidade de sair do que qualquer outro;

·      Sem surpresa, os números 1 e 50 são, respectivamente, os mais prováveis para as posições P1 e P5;

·      O quadro evidencia simetria das pontas para o interior. Comparem-se as frequências dos números 1 e 50;

·     São estes os números que maximizam, isoladamente, a probabilidade de acertar em cada uma das 5 posições: P1 – 1; P2 – 13; P3 - 25 e 26; P4 – 38 e P5 – 50. Enquanto chave ou chaves, tendo em conta o desdobramento da posição P3, a probabilidade de acertar no euromilhões será sempre igual ao número de chaves apostado sobre 116 531 800!

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Eis algo que nunca deixa ninguém indiferente! Contudo, qual é a probabilidade de conseguir tal evento? (post 2/4)

Considere-se agora um conjunto de 4 números: 1 - 2 – 3 – 4. Quantas combinações de 3 números consigo gerar/extrair?

Vejamos,

1.    1 – 2 – 3

2.    1 – 2 – 4

3.    1 – 3 – 4

4.    2 – 3 – 4

Ou seja, 4 combinações diferentes!

E quantas resultarão de dois números?

1.    1 – 2

2.    1 – 3

3.    1 – 4

4.    2 – 3

5.    2 – 4

6.    3 – 4

E já agora quantas de apenas um número?

Esta é fácil: 4!

Em todos estes exemplos, partimos de um conjunto de n números, do qual foram geradas combinações de r números.

A expressão (coeficiente binomial) que nos devolve o conjunto de combinações possíveis, para quaisquer que sejam os valores de n ou de r é definida do seguinte modo:

Em que n! é a função factorial do número n, definida pelo produto de todos os naturais de 1 até n. Ou seja,

2! = 1 x 2 = 2;

3! = 1 x 2 x 3 = 6;

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120;

Etc…

Desta forma, dado que cada aposta no concurso do Euromilhões consiste numa combinação de 5 números extraídos de um conjunto de 50, o número total de combinações possíveis, ainda não considerando as estrelas, é de:

No que se refere apenas às estrelas – Combinações de 2 números extraídas de um conjunto de 11:

Finalmente, tendo em consideração que a cada combinação do conjunto de 50 números pode estar associada qualquer uma das combinações de 2 estrelas, o número total de chaves em jogo em qualquer concurso do euromilhões é de:

2 118 760 x 55 = 116 531 800

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Eis algo que nunca deixa ninguém indiferente! Contudo, qual é a probabilidade de conseguir tal evento? (post 1/4)

Para melhor compreensão do problema, comecemos por considerar um conjunto de 7 números:

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7

Quantas combinações de 3 números consigo extrair/gerar a partir do conjunto acima mencionado?

Verifique-se que a combinação 1 - 2 - 3 pode ser representada por 1 - 3 - 2 ou por 3 - 1 - 2 ou por
2 - 1 - 3 ou por 2 - 3 - 1 ou por, etc. Ou seja, a ordem dos números na combinação é indiferente, logo, por razões de comodidade, irá ser adoptado, daqui para a frente, o critério da ordem crescente dos números que constituem a combinação. Neste caso, 1 - 2 - 3!

Voltando à nossa questão,

Do conjunto 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 posso extrair as seguintes combinações de 3 números:

1. 1 - 2 - 3;
2. 1 - 2 - 4;
3. 1 - 2 - 5;
4. 1 - 2 - 6;
5. 1 - 2 - 7;
6. 1 - 3 - 4;
7. 1 - 3 - 5;
8. 1 - 3 - 6;
9. 1 - 3 - 7;
10. 1 - 4 - 5;
11. 1 - 4 - 6;
12. 1 - 4 - 7;
13. 1 - 5 - 6;
14. 1 - 5 - 7;
15. 1 - 6 - 7;
16. 2 - 3 - 4;
17. 2 - 3 - 5;
18. 2 - 3 - 6
19. 2 - 3 - 7;
20. 2 - 4 - 5;
21. 2 - 4 - 6;
22. 2 - 4 - 7;
23. 2 - 5 - 6;
24. 2 - 5 - 7;
25. 2 - 6 - 7;
26. 3 - 4 - 5;
27. 3 - 4 - 6;
28. 3 - 4 - 7;
29. 3 - 5 - 6;
30. 3 - 5 - 7;
31. 3 - 6 - 7;
32. 4 - 5 - 6;
33. 4 - 5 - 7;
34. 4 - 6 - 7;
35. 5 - 6 - 7.

Quem diria? De 7 simples números consigo gerar 35 combinações diferentes de 3 números!!!